受験生向け研究紹介
花木 章秀
数学科 代数学分野
有限の数学
現在の研究テーマ：アソシエーション・スキームの表現
学生時代の私の専門は「有限群の表現論」であったが，ある問題がきっかけとなり，現在は主にアソシエーション・スキーム，特にその表現を研究している．アソシエーション・スキームの勉強を始めた頃は，身近に詳しい人もなく，色々と苦労をした．まず具体的な例を知るために，小さいものを書き上げるということをした(これは後に計算機を用いた分類という研究に発展し，現在も続いている)．そのときに思い付いた問題に「素数位数アソシエーション・スキームの分類」があった．よく知られているように素数位数の群は巡回群に限る．同様のことがアソシエーション・スキームに対しても成り立つのかということである．素数位数のアソシエーション・スキームはcyclotomic schemeとそれに代数的に同型なものしか知られていない．しばらくの間，私の主テーマはこの問題であったが，そう簡単には解決の糸口を見つけることはできなかった．
2004年秋，ある研究集会で大阪教育大学の宇野勝博先生とアソシエーション・スキームの表現に関する話をした際，「原点に帰ってR. Brauerの1940年頃の論文を読むといい」といわれた(R. Brauerは有限群のモジュラー表現の多くの重要な部分を築いた数学者)．さっそく読んでみた．するとその中の議論に使える部分があり，それを利用することによって大きな結果を得ることができた．その後，宇野先生と議論を重ねて，現在得られている結果は以下の通りである．
定理(花木-宇野). 素数位数アソシエーション・スキームは可換である．更にその最小分解体がアーベル体であるならば，それはcyclotomic scheme と代数的に同型である．
これはその証明にモジュラー表現を本質的に用いており，新しい手法による成果ともいえる．定理の中の仮定について「可換なアソシエーション・スキームの最小分解体はアーベル体であるか」(坂内-伊藤)という問題があり，これが肯定的であるならば素数位数アソシエーション・スキームは既述のものに限られる．しかし我々の結果の後，小松-坂内によって知られていない素数位数アソシエーション・スキームの存在の可能性が示されている．
素数位数アソシエーション・スキームに関する問題は完全に解決したわけではないが，表現論的な議論はしつくした感があり，現在はあまり考えていない．現在，もっとも興味をもっているのは，アソシエーション・スキームとその部分スキームや商スキームの間の関係である．これがよく分かれば，多くの問題は原始的スキーム(部分スキームや商スキームをもたないもの) に帰着することができ，その研究が進むことが期待される．最近，表現に関してClifford型の定理を証明したが，更なる一般化を行いたいと思っている．
2004年秋，ある研究集会で大阪教育大学の宇野勝博先生とアソシエーション・スキームの表現に関する話をした際，「原点に帰ってR. Brauerの1940年頃の論文を読むといい」といわれた(R. Brauerは有限群のモジュラー表現の多くの重要な部分を築いた数学者)．さっそく読んでみた．するとその中の議論に使える部分があり，それを利用することによって大きな結果を得ることができた．その後，宇野先生と議論を重ねて，現在得られている結果は以下の通りである．
定理(花木-宇野). 素数位数アソシエーション・スキームは可換である．更にその最小分解体がアーベル体であるならば，それはcyclotomic scheme と代数的に同型である．
これはその証明にモジュラー表現を本質的に用いており，新しい手法による成果ともいえる．定理の中の仮定について「可換なアソシエーション・スキームの最小分解体はアーベル体であるか」(坂内-伊藤)という問題があり，これが肯定的であるならば素数位数アソシエーション・スキームは既述のものに限られる．しかし我々の結果の後，小松-坂内によって知られていない素数位数アソシエーション・スキームの存在の可能性が示されている．
素数位数アソシエーション・スキームに関する問題は完全に解決したわけではないが，表現論的な議論はしつくした感があり，現在はあまり考えていない．現在，もっとも興味をもっているのは，アソシエーション・スキームとその部分スキームや商スキームの間の関係である．これがよく分かれば，多くの問題は原始的スキーム(部分スキームや商スキームをもたないもの) に帰着することができ，その研究が進むことが期待される．最近，表現に関してClifford型の定理を証明したが，更なる一般化を行いたいと思っている．
研究領域：代数的組合せ論-アソシエーション・スキーム-
1930年代，R. A. Fisherは農業試験を効率的に行うため，幾何学における配置問題を応用した．これが「実験計画法」という名の「組合せデザイン」の研究の始まりとされる．「組合せデザイン」の問題とは，簡単にいえば，「全体をよく近似するなるべく小さな部分集合を見つける」ということである．部分集合を小さくすれば，近似が悪くなるのは当り前のことであるが，ある意味でもっとも効率のよいものを求めたいのである．
1940年代にはC. E. Shannonらによって「誤り訂正符号」の理論が作り出される．誤り訂正符号とは情報通信の際に生じるノイズ(雑音) を除去するために，用いられるものである．簡単な例として，まったく同じ情報をくり返し送るという方法がある．もし受け取った情報が異なれば，誤りがあることが分かる．また3 回以上送れば，多数決の原理によって正しい情報を推測することが出来る．しかし，この方法では情報量が大きくなりすぎるという問題がある．情報量の増加を少なくし，かつ誤り検出，誤り訂正の効率もよくするというのが，誤り訂正符号の理論の一つの目的である．
「組合せデザイン」や「誤り訂正符号」の理論は，このように実用的な問題から始まっているが，純粋数学としての研究も盛んに行われてきた．1973年にP. Delsarteはこれらのものを「アソシエーション・スキーム」という枠組の中で統一的に扱うことが出来ることを示した．Delsarteの論文が，アソシエーション・スキームを中心とする「代数的組合せ論」の出発点であるともいわれている(代数的組合せ論という言葉の意味は広く，他の意味で用いられることも多い)．
一方でD. G. Higmanは1970年代を中心に有限群論，あるいはその表現論の一般化という観点からcoherent configurationを研究した．特にhomogeneous coherent configurationはDelsarteらによるアソシエーション・スキームの非可換版ともいえるものであり，私はこの意味で「アソシエーション・スキーム」という言葉を使っている．この意味ではアソシエーション・スキームは有限群の概念をその特別な場合として含むことになる．
アソシエーション・スキームは元々，組合せ論的な研究対象であるから，その研究は組合せ論的な手法によるものが多い．しかし，多くの組合せ論的な議論は扱う集合が大きくなると，もはや手に負えないほど複雑で難しくなる．そこで，ある種の"粗い"議論が有効になってくる．アソシエーション・スキームからは自然に代数が定義される．この代数を調べることによって元のアソシエーション・スキームの性質などを見るのである．近年，この方法によっていくつかの新しい結果が得られたため，注目される研究の一つとなっている．特にモジュラー表現(正標数の体上の隣接代数の表現) はほとんど研究が進んでおらず，今後の発展が期待される．
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\(X\) を有限集合とする．\(S\) は\(X\times X\) の分割とする．すなわち\[
X \times X =\bigcup_{s\in S} s \quad\text{(disjoint)}
\]である．\((X,S)\) が以下の3条件をみたすとき，これをアソシエーション・スキームという．
(1) \(1=\{(x,x)\mid x\in X\}\in S\),
(2) \(s\in S\) ならば\[
s^*=\{(y,x)\mid (x,y)\in s\}\in S,
\](3) \(s,t,u\in S\) にたいして整数 \(p^u_{st}\) が存在して，\((x,y)\in u\) であるとき\[
\sharp\{z\in X\mid (x,z)\in s,\ (z,y)\in t\}=p^u_{st}.
\]集合 \(X\) の元数を \((X,S)\) の位数という．このとき \(S\) の元を形式的な基底とし \(p^u_{st}\) を構造定数とする代数が定義される．これを \((X,S)\) の隣接代数という．隣接代数が可換であるときアソシエーション・スキームは可換であるといわれる．
任意の \(s \in S\) に対して \(p^1_{ss^*}=1\) であるようなアソシエーション・スキームは，本質的に有限群と同じものであり，そのときの隣接代数は群代数と同じになる．
複素数体上の隣接代数は半単純であり，したがって指標理論が有効である．このときの表現を通常表現という．正標数の体上の隣接代数は半単純とは限らず，一般にその研究は難しい．このときの表現をモジュラー表現という．正標数の体上の隣接代数がいつ半単純になるかはFrame 数によって判定できるが，Frame 数を求めることは一般には容易ではない．
1940年代にはC. E. Shannonらによって「誤り訂正符号」の理論が作り出される．誤り訂正符号とは情報通信の際に生じるノイズ(雑音) を除去するために，用いられるものである．簡単な例として，まったく同じ情報をくり返し送るという方法がある．もし受け取った情報が異なれば，誤りがあることが分かる．また3 回以上送れば，多数決の原理によって正しい情報を推測することが出来る．しかし，この方法では情報量が大きくなりすぎるという問題がある．情報量の増加を少なくし，かつ誤り検出，誤り訂正の効率もよくするというのが，誤り訂正符号の理論の一つの目的である．
「組合せデザイン」や「誤り訂正符号」の理論は，このように実用的な問題から始まっているが，純粋数学としての研究も盛んに行われてきた．1973年にP. Delsarteはこれらのものを「アソシエーション・スキーム」という枠組の中で統一的に扱うことが出来ることを示した．Delsarteの論文が，アソシエーション・スキームを中心とする「代数的組合せ論」の出発点であるともいわれている(代数的組合せ論という言葉の意味は広く，他の意味で用いられることも多い)．
一方でD. G. Higmanは1970年代を中心に有限群論，あるいはその表現論の一般化という観点からcoherent configurationを研究した．特にhomogeneous coherent configurationはDelsarteらによるアソシエーション・スキームの非可換版ともいえるものであり，私はこの意味で「アソシエーション・スキーム」という言葉を使っている．この意味ではアソシエーション・スキームは有限群の概念をその特別な場合として含むことになる．
アソシエーション・スキームは元々，組合せ論的な研究対象であるから，その研究は組合せ論的な手法によるものが多い．しかし，多くの組合せ論的な議論は扱う集合が大きくなると，もはや手に負えないほど複雑で難しくなる．そこで，ある種の"粗い"議論が有効になってくる．アソシエーション・スキームからは自然に代数が定義される．この代数を調べることによって元のアソシエーション・スキームの性質などを見るのである．近年，この方法によっていくつかの新しい結果が得られたため，注目される研究の一つとなっている．特にモジュラー表現(正標数の体上の隣接代数の表現) はほとんど研究が進んでおらず，今後の発展が期待される．
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\(X\) を有限集合とする．\(S\) は\(X\times X\) の分割とする．すなわち\[
X \times X =\bigcup_{s\in S} s \quad\text{(disjoint)}
\]である．\((X,S)\) が以下の3条件をみたすとき，これをアソシエーション・スキームという．
(1) \(1=\{(x,x)\mid x\in X\}\in S\),
(2) \(s\in S\) ならば\[
s^*=\{(y,x)\mid (x,y)\in s\}\in S,
\](3) \(s,t,u\in S\) にたいして整数 \(p^u_{st}\) が存在して，\((x,y)\in u\) であるとき\[
\sharp\{z\in X\mid (x,z)\in s,\ (z,y)\in t\}=p^u_{st}.
\]集合 \(X\) の元数を \((X,S)\) の位数という．このとき \(S\) の元を形式的な基底とし \(p^u_{st}\) を構造定数とする代数が定義される．これを \((X,S)\) の隣接代数という．隣接代数が可換であるときアソシエーション・スキームは可換であるといわれる．
任意の \(s \in S\) に対して \(p^1_{ss^*}=1\) であるようなアソシエーション・スキームは，本質的に有限群と同じものであり，そのときの隣接代数は群代数と同じになる．
複素数体上の隣接代数は半単純であり，したがって指標理論が有効である．このときの表現を通常表現という．正標数の体上の隣接代数は半単純とは限らず，一般にその研究は難しい．このときの表現をモジュラー表現という．正標数の体上の隣接代数がいつ半単純になるかはFrame 数によって判定できるが，Frame 数を求めることは一般には容易ではない．