空間の代数的模型
集合に近さ、遠さ、あるいは広がり、繋がりの概念を定義したものが「位相空間」(以下空間) と呼ばれる幾何学的な対象で、集合に演算を定義したものが「群」「環」と呼ばれる代数的な対象です。
私は空間を代数的な対象で近似し、それを用いて元の空間を解析することに興味を持ち研究を続けています。
その精神はちょうど、平面図形を座標平面に埋め込んで方程式により記述し、方程式を解析することで元の図形の性質を考察する(皆さんの学ぶ(学んだ)) 座標幾何学に通じるものがあります。
最近は、特に２つの空間の間の写像全体がつくる「写像空間」を代数的な対象に変換して研究しています。この研究ついて以下説明します。
空間の点にもう一つの空間の点を対応させることで「写像」という概念が生まれます。
私の専門分野であるトポロジーにおいては、ある空間を考察するとき、より基本的な別の空間を取りその２つの空間の間の写像全体を調べることで、もとの空間を考察する方法を用います。
基本的な空間として球面を選び、写像全体の集合に群構造を入れたものがホモトピー群で、この群の研究が代数的トポロジーの出発点であるといえます。
さて変換についてですか、まず空間のつくる圏(後述) から代数的な対象がつくる圏への適切な関手(後述) を用いて、写像空間を代数化します。
ここで現れる対象が空間の代数的模型と呼ばれるもので、関手によっては空間の特性をそのまま引き継ぐもの(でも複雑)、空間の多くの情報は消えてしまうけれど扱いやすいもの、と様々な形を持ちます。ここで最近の研究から具体例を使って考察方法を大雑把に説明しましょう。
例えば写像空間のホモトピー群のある重要な部分群kuribayashi10.png を調べようと思うならば群のつくる圏で次の「図式」を考えます。
\[ (f * g)(m) = \sum_n {f(n)\,g(m - n)} \]
図式とは対象の性質を記述している、例えば基盤の電子回路図のようなものです。
次にこの図式を可換化します。
そして双対を考え、ベクトル空間の圏に対象を写せば、図式
\[ (f * g)(m) = \sum_n {f(n)\,g(m - n)} \]
空間の代数的模型
集合に近さ、遠さ、あるいは広がり、繋がりの概念を定義したものが「位相空間」(以下空間) と呼ばれる幾何学的な対象で、集合に演算を定義したものが「群」「環」と呼ばれる代数的な対象です。
私は空間を代数的な対象で近似し、それを用いて元の空間を解析することに興味を持ち研究を続けています。
その精神はちょうど、平面図形を座標平面に埋め込んで方程式により記述し、方程式を解析することで元の図形の性質を考察する(皆さんの学ぶ(学んだ)) 座標幾何学に通じるものがあります。
最近は、特に２つの空間の間の写像全体がつくる「写像空間」を代数的な対象に変換して研究しています。この研究ついて以下説明します。
空間の点にもう一つの空間の点を対応させることで「写像」という概念が生まれます。
私の専門分野であるトポロジーにおいては、ある空間を考察するとき、より基本的な別の空間を取りその２つの空間の間の写像全体を調べることで、もとの空間を考察する方法を用います。
基本的な空間として球面を選び、写像全体の集合に群構造を入れたものがホモトピー群で、この群の研究が代数的トポロジーの出発点であるといえます。
さて変換についてですか、まず空間のつくる圏(後述) から代数的な対象がつくる圏への適切な関手(後述) を用いて、写像空間を代数化します。
ここで現れる対象が空間の代数的模型と呼ばれるもので、関手によっては空間の特性をそのまま引き継ぐもの(でも複雑)、空間の多くの情報は消えてしまうけれど扱いやすいもの、と様々な形を持ちます。ここで最近の研究から具体例を使って考察方法を大雑把に説明しましょう。
例えば写像空間のホモトピー群のある重要な部分群kuribayashi10.png を調べようと思うならば群のつくる圏で次の「図式」を考えます。